Aritalab:Lecture/NetworkBiology/Percolation - Revision history

Adm: /* パーコレーションとは */

2016-08-03T05:49:33Z

‎パーコレーションとは

Adm: /* クラスターの平均サイズ S */

2014-07-29T00:58:00Z

‎クラスターの平均サイズ S

Adm: /* 木またはベーテ格子の場合 */

2014-07-29T00:54:36Z

‎木またはベーテ格子の場合

Adm: /* 一次元の場合 */

2014-07-28T09:36:16Z

‎一次元の場合

Adm: /* パーコレーションとは */

2014-07-28T09:28:13Z

‎パーコレーションとは

Adm: /* パーコレーションとは */

2014-07-28T09:18:36Z

‎パーコレーションとは

Adm: /* 浸透確率 P∞ */

2014-01-16T23:26:23Z

‎浸透確率 P∞

Adm: /* 一次元の場合 */

2014-01-16T23:14:19Z

‎一次元の場合

Adm at 23:13, 16 January 2014

2014-01-16T23:13:39Z

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Adm: /* クラスターの平均サイズ S */

2013-01-18T01:08:10Z

‎クラスターの平均サイズ S

@@ Line 10: / Line 10: @@
 {| class="wikitable" style="float:right"
 |-
-!colspan=3| 格子の主な浸透閾値 p<sub>c</sub> (*のみ厳密解。<br/>ほとんどの場合解析的に解けない。)
+!colspan=4| 格子の主な浸透閾値 p<sub>c</sub> (*のみ厳密解。<br/>ほとんどの場合解析的に解けない。)
 |-
 ! 格子の種類 || 配位数 || サイト || ボンド

@@ Line 144: / Line 144: @@
 |}
-===クラスターの平均サイズ ''S''===
+===クラスターの平均サイズ S===
-ある枝の先につながっている格子点数の期待値を <math>T</math> とします。
+ある枝の先につながっている格子点数の期待値を T とします。
-まず <math>p < p_c = 1/2</math> の場合を考えます。
+まず p < p<sub>c</sub> = 1/2 の場合を考えます。
-どの格子点もサイズが無限大のクラスターには属しません。（平均サイズが計算できなくなる。）
+どの格子点もサイズが無限大のクラスターには属しません。（そうしないと平均サイズが計算できない。）
-従って、枝の先にある格子点が占有されていればその格子点プラス二つの枝の平均サイズが付け加わるから
+枝の先にある格子点が占有されていれば、その格子点プラス二つの枝の平均サイズが付け加わるので
-<math>T = (1-p)0 +p(1+2T)</math>。 これを解いて<math>T=p/(1-2p)</math>。
+: T = (1 - p) 0 + p (1 + 2T)
-従って、ある頂点が属するクラスターの平均サイズは
+: S = 1 + 3T = (1 + p) / (1 - 2p)
-−
-<math>S = 1 + 3T = (1+p)/(1-2p)</math>。
-−
-−
-この議論は容易に一般化できる。次数 ''d'' の場合 <math>p < p_c = 1/(d-1)</math> なら <math>S = (1+p)/(1-dp)</math>。
 まとめると
@@ Line 166: / Line 162: @@
 | 平均サイズ || <math>\frac{(1+p)}{(1-2p)}</math> || <math>\infty</math>
 |}
 ;参考
 <references/>

@@ Line 108: / Line 108: @@
 ;特徴
-次数が ''d'' の木の場合、原点は ''d'' 本の枝を持つ。
+* 次数が d の木の場合、原点は d 本の枝を持つ。
-残りの点は通ってきた点のほかに ''d'' &minus; 1 本の枝を持ち、それらの先に確率 ''p'' で占有される格子点が存在する。
+* 残りの点は通ってきた点のほかに d &minus; 1 本の枝を持ち、それらの先に確率 p で占有される格子点が存在する。
-先に進める確率は (''d'' &minus; 1) ''p'' になるので、無限大のクラスターが存在し始める値は <math>\textstyle p_c=\frac{1}{d-1}</math>。
+先に進める確率は (d &minus; 1) p になるので、無限大のクラスターが存在し始める値は p<sub>c</sub> = 1 / (d - 1)、つまり各点に平均 d / (d - 1) 本の枝があれば、無限に大きなクラスターが存在します。
 逆に、これより低い p の値では、無限に大きなクラスターは存在しません。
-つまり各点に平均 <math>\textstyle \frac{d}{d-1}</math> 本の枝があれば、無限に大きなクラスターが存在します。
-逆に、これより低い ''p'' の値では、無限に大きなクラスターは存在しません。
 以降、簡単のため d = 3 ( p<sub>c</sub> = 1/2 ) に話を限定します。
-===''d'' = 3 の木===
+=== d = 3 の木===
-ここまでの議論から、浸透閾値は 1/2 である。確率が 1/2 を超えると、その頂点にたどり着いた枝を除いた残り 2 本のうちどちらかがつながっているから、無限大のクラスターが存在する。
+ここまでの議論から、浸透閾値は 1/2 であり、浸透確率が 1/2 を超えると、その頂点にたどり着いた枝を除いた残り 2 本のうちどちらかがつながっているから、無限大のクラスターが存在します。
-===浸透確率 ''P''<sub>∞</sub>===
+===格子点が無限大のクラスターに含まれる確率 P<sub>∞</sub>===
-ある格子点が、無限大のクラスターに含まれる確率 （=浸透確率）を求めてみます。
+p > p<sub>c</sub> = 1 / 2 のとき（無限に大きいクラスターがあるとき）、任意の格子点が、それから始まる枝のうち一つを通しては無限遠につながらない確率を Q と書きます。
-p > p<sub>c</sub> = 1 / 2 のとき（無限に大きいクラスターがあるとき）、任意の格子点が、それから始まる枝のうち一つを通しては無限遠につながらない確率を ''Q'' とします。
 ある近接した格子点から外に無限遠へつながらない確率は、その格子点が占有されていないか、占有されてもその先でつながらない確率を足したもの。
-これは ''Q'' に等しいはずなので
+これは Q に等しいはずなので
-<math>Q = (1-p) + pQ^2</math>
+を満たします。これを解くと Q = 1, (1 - p) / p。
-を満たします。これを解くと<math>Q = 1,\ (1-p)/p</math>。
+* Q = 1 の場合
-* <math>Q=1</math>の場合
+これより P<sub>∞</sub> = p (1-Q<sup>3</sup>) = p - (1-p)<sup>3</sup> / p<sup>2</sup> です。
-無限遠に決してつながらず、<math>p < 1/2</math> のときに対応します。
-* <math>Q = (1-p)/p \,</math>の場合
-<math>p > 1/2</math> に相当します。
-原点が占有されていても無限遠につながらない確率は <math>p-P_{\infty} = pQ^3</math>。
-これより<math>P_{\infty} = p(1-Q^3) = p - (1-p)^3/p^2</math>。
 まとめると
@@ Line 141: / Line 139: @@
 ! || <math>\textstyle p < \frac{1}{2}</math> || <math>\textstyle p > \frac{1}{2}</math>
 |-
-| 有限のクラスターに含まれる確率  || ''p'' || <math>\textstyle \frac{(1-p)^3}{p^2}</math>
+| 有限のクラスターに含まれる確率  || p || <math>\textstyle \frac{(1-p)^3}{p^2}</math>
 |-
-| 浸透確率 ''P''<sub>∞</sub>  || 0 || <math>\textstyle p - \frac{(1-p)^3}{p^2}</math>
+| 無限大のクラスターに含まれる確率  || 0 || <math>\textstyle p - \frac{(1-p)^3}{p^2}</math>
 |}

@@ Line 51: / Line 51: @@
 無限に長い直線上に一定間隔で格子点がある場合を考えます。
-無限に伸びるクラスターができるためには全ての格子点が占有されなくてはならないので、浸透閾値 <math>p_c=1</math>、周縁サイズは常に <math>t=2</math> です。この簡便さから、多くの問いに対して厳密解を求められます。
+無限に伸びるクラスターができるためには全ての格子点が占有されなくてはならないので、浸透閾値 p<sub>c</sub> = 1、周縁サイズは常に t = 2 です。この簡便さから、多くの問いに対して厳密解を求められます。
-* ある格子点が、''s''-クラスターに含まれる確率
+* ある格子点が、s-クラスターに含まれる確率
 ある格子点は、大きさ s のクラスターのどの位置にもなりうるので s 通りの可能性があります。
 :<math>\textstyle P_s = s p_{s,t} = s p^s (1-p)^2</math>
 * 浸透確率（格子点が無限大のクラスターに含まれる確率）、クラスターの平均サイズ
 {| class="wikitable"
 |valign="top"|
+|
-;<math>p < p_c = 1</math> の場合
+; p < p<sub>c</sub> = 1 の場合
+|
-;<math>p = p_c = 1</math> の場合
+; p = p<sub>c</sub> = 1 の場合
 |-
 |valign="top"|
@@ Line 81: / Line 80: @@
 |}
-平均サイズの計算は説明が必要でしょう。それぞれの s-クラスターが出現する確率にサイズ s をかけたものを、s-クラスターが出現する確率の総和で割れば平均サイズが求まります。
+平均サイズの計算は説明が必要でしょう。それぞれの s-クラスターが出現する確率 P<sub>s</sub> にサイズ s をかけたものを、s-クラスターが出現する確率の総和で割れば平均サイズが求まります。
 <math>
 \begin{align}

@@ Line 4: / Line 4: @@
 パーコレーション（浸透）理論 (percolation theory) では、非常に大きな格子において各格子点が周囲とは全く独立に確率 p で占有されるときに生成されるクラスターを解析します。
-様々な格子において、確率　p　がある閾値　p<sub>c</sub>　に達すると、無限に大きなクラスターが存在し始めます。これを臨界現象といい、臨界点を浸透閾値 (percolation threshold) と呼びます。ある格子点が無限大のクラスターに含まれる確率を浸透確率とよびます。浸透閾値 p<sub>c</sub> はほとんどの場合について厳密解が求まっていませんが、数値シミュレーション等で解析されています。
+様々な格子において、確率　p　がある閾値　p<sub>c</sub>　に達すると、無限に大きなクラスターが存在し始めます。これを臨界現象といい、臨界点を浸透閾値 (percolation threshold) と呼びます。ある格子点が無限大のクラスターに含まれる確率を浸透確率 (percolation probability) とよびます。浸透閾値 p<sub>c</sub> はほとんどの場合について厳密解が求まっていませんが、数値シミュレーション等で解析されています。
 上記のように格子点が確率 p で占有される過程を、正確にはサイト過程と呼びます。これに対して、格子点と格子点を結ぶ辺（ボンド）が確率 p で開閉されると考えて生成するクラスターを解析する場合を、ボンド過程と呼びます。
@@ Line 10: / Line 10: @@
 {| class="wikitable" style="float:right"
 |-
-!colspan=3| 主な浸透閾値 p<sub>c</sub> (*のみ厳密解。<br/>ほとんどの場合解析的に解けない。)
+!colspan=3| 格子の主な浸透閾値 p<sub>c</sub> (*のみ厳密解。<br/>ほとんどの場合解析的に解けない。)
 |-
-! 格子の種類 || サイト || ボンド
+! 格子の種類 || 配位数 || サイト || ボンド
 |-
-| 蜂の巣 || 0.697043 || 0.65271<sup>*</sup>
+| 蜂の巣 || 3 || 0.697043 || 0.65271<sup>*</sup>
 |-
-| 正方　|| 0.5927462 || 1/2 <sup>*</sup>
+| 正方　|| 4 || 0.5927462 || 1/2 <sup>*</sup>
 |-
-| 三角 || 1/2 <sup>*</sup> || 0.34729<sup>*</sup>
+| 三角 || 6 || 1/2 <sup>*</sup> || 0.34729<sup>*</sup>
 |-
-| ダイヤモンド || 0.4301 || 0.3893
+| ダイヤモンド || 4 || 0.4301 || 0.3893
 |-
-| 単純立方 || 0.311608 || 0.248813
+| 単純立方 || 6 || 0.311608 || 0.248813
 |-
-| 体心立方 || 0.245691 || 0.180287
+| 体心立方 || 8 || 0.245691 || 0.180287
 |-
-| 面心立方<ref>同半径の球を敷き詰めたときの最密充填</ref> || 0.199236 || 0.120163
+| 面心立方<ref>同半径の球を敷き詰めたときの最密充填</ref> || 12 || 0.199236 || 0.120163
 |-
-| d=4 超立方 || 0.196885 || 0.160131
+| d=4 超立方 || || 0.196885 || 0.160131
 |-
-| d=5 超立方 || 0.140797 || 0.118172
+| d=5 超立方 || || 0.140797 || 0.118172
 |-
-| d=6 超立方 || 0.109018 || 0.094202
+| d=6 超立方 || || 0.109018 || 0.094202
 |-
-| d=7 超立方 || 0.088951 || 0.078675
+| d=7 超立方 || || 0.088951 || 0.078675
-|}
+--->
 ==クラスター・周縁という概念==

@@ Line 3: / Line 3: @@
 ==パーコレーションとは==
-パーコレーション（浸透）理論 (percolation theory) では、非常に大きな格子において各格子点が周囲とは全く独立に確率''p''で占有されるときに生成されるクラスターを解析します。
+パーコレーション（浸透）理論 (percolation theory) では、非常に大きな格子において各格子点が周囲とは全く独立に確率 p で占有されるときに生成されるクラスターを解析します。
-様々な格子において、確率　''p''　がある閾値　<math>p_c</math>　に達すると、無限に大きなクラスターが存在し始めます。これを臨界現象といい、臨界点を浸透閾値 (percolation threshold) と呼びます。ある格子点が無限大のクラスターに含まれる確率を浸透確率 (
+様々な格子において、確率　p　がある閾値　p<sub>c</sub>　に達すると、無限に大きなクラスターが存在し始めます。これを臨界現象といい、臨界点を浸透閾値 (percolation threshold) と呼びます。ある格子点が無限大のクラスターに含まれる確率を浸透確率とよびます。浸透閾値 p<sub>c</sub> はほとんどの場合について厳密解が求まっていませんが、数値シミュレーション等で解析されています。
-浸透閾値　<math>p_c</math>　はほとんどの場合について厳密解が求まっていませんが、数値シミュレーション等で解析されています。
+上記のように格子点が確率 p で占有される過程を、正確にはサイト過程と呼びます。これに対して、格子点と格子点を結ぶ辺（ボンド）が確率 p で開閉されると考えて生成するクラスターを解析する場合を、ボンド過程と呼びます。
-−
-上記のように格子点が確率 ''p'' で占有される過程を、正確にはサイト過程と呼びます。これに対して、格子点と格子点を結ぶ辺（ボンド）が確率 ''p'' で開閉されると考えて生成するクラスターを解析する場合を、ボンド過程と呼びます。
 {| class="wikitable" style="float:right"
 |-
-!colspan=3| 主な浸透閾値<math>p_c</math> (*のみ厳密解。<br/>ほとんどの場合解析的に解けない。)
+!colspan=3| 主な浸透閾値 p<sub>c</sub> (*のみ厳密解。<br/>ほとんどの場合解析的に解けない。)
 |-
 ! 格子の種類 || サイト || ボンド

@@ Line 88: / Line 88: @@
 </math>
 分母は各点がクラスターに含まれる確率に等しいので p になります。面倒なのは分子の計算です。
 <math>
 \begin{align}

@@ Line 154: / Line 154: @@
 まず <math>p < p_c = 1/2</math> の場合を考える。
 どの格子点もサイズが無限大のクラスターには属さない。
-従って、枝の先にある格子点が占有されていればその格子点プラス二つの枝の平均サイズが付け加わるから <math>T = (1-p)0 +p(1+2T)</math>。
+従って、枝の先にある格子点が占有されていればその格子点プラス二つの枝の平均サイズが付け加わるから
-これを解くと <math>T=p/(1-2p)</math>。
-従って、ある頂点が属するクラスターの平均サイズは <math>S = 1 + 3T = (1+p)/(1-2p)</math>。
+<math>T = (1-p)0 +p(1+2T)</math>。これを解くと <math>T=p/(1-2p)</math>。
-この議論は容易に一般化できる。
-次数 ''d'' の場合 <math>p < p_c = 1/(d-1)</math> なら <math>S = (1+p)/(1-dp)</math>。
 まとめると
 {| class ="wikitable" style="text-align:center"
-! || <math>p < 1/2</math>
+! || p < 1/2 || p >= 1/2
 |-
-| 平均サイズ || <math>(1+p)/(1-2p)</math>
+| 平均サイズ || <math>\frac{(1+p)}{(1-2p)}</math> || <math>\infty</math>
 |}
 ;参考
 <references/>