Revision as of 16:40, 8 October 2010

確率・統計

平均

期待値とは、確率変数の取る値とその確率とをかけた総和である。フェアなサイコロのように全ての目が糖確率で出る場合は、目の数の期待値は（算術）平均に等しくなる。二つの確率変数X,Yがあったとき、和の平均は平均の和に等しい。

$E[X+Y]=E[X]+E[Y]$

X,Yが独立のときに限り、積についても分配できる。

$E[XY]=E[X]E[Y]$ （ただしX,Yは独立）

分散

分散とは確率変数がとる値のばらつきの度合いである。

$V[X] = E[(X-E[X])^2] = E[X^2] - (E[X])^2$

X,Yが独立のときに限り、和の分散は分散の和に等しい。

$V[X+Y] = V[X] + V[Y]$ （ただしX,Yは独立）

独立でない場合に生じる「ズレ」を共分散と呼ぶ。

$V[X+Y] = V[X] + V[Y] + 2Cov[X,Y]$

共分散・相関

共分散は二組の対応する確率変数の間で、ばらつきが異なる度合いである。共分散の定義は

$Cov[X,Y]=E[ (X-E[X]) (Y-E[Y]) ]$

となる。 XとYに関して対称に定義されていて、XとYのばらつきの傾向が似ていれば大きな正の値になり、似ていなければ大きな負の値になる。XとYが独立であれば0になる。共分散をXの標準偏差とYの標準偏差で割ったものが相関係数である。

$Corr[X,Y] = Cov[X,Y] /(V[X]^{1/2}V[Y]^{1/2})$

正規分布表

標準正規分布表の見方。

z	0.0	0.2	0.4	0.6	0.8
0.0	0.5000	0.4207	0.3446	0.2743	0.2119
1.0	0.1587	0.1151	0.0808	0.0548	0.0359
2.0	0.0228	0.0139	0.0082	0.0047	0.0026
3.0	0.0013	0.0007	0.0003	0.0002	0.0001

表におけるzの値は上から順に左→右方向にみる。正規分布全体の面積を1.0としたときの、 zから上側の面積を示している。例えば標準偏差が2.0以上の面積は0.0228、2.2以上の面積は0.0139。

@@ Line 1: / Line 1: @@
 =確率・統計=
-===分散と共分散・相関===
+===平均===
-分散とは一つのデータ集合におけるばらつきの度合いであり、共分散は二組の対応するデータ間がばらつく度合いである。
+期待値とは、確率変数の取る値とその確率とをかけた総和である。フェアなサイコロのように全ての目が糖確率で出る場合は、目の数の期待値は（算術）平均に等しくなる。二つの確率変数X,Yがあったとき、和の平均は平均の和に等しい。
+:<math>E[X+Y]=E[X]+E[Y]</math>
+X,Yが独立のときに限り、積についても分配できる。
+:<math>E[XY]=E[X]E[Y]</math>（ただしX,Yは独立）
+===分散===
+分散とは確率変数がとる値のばらつきの度合いである。
+:<math>V[X] = E[(X-E[X])^2] = E[X^2] - (E[X])^2</math>
+X,Yが独立のときに限り、和の分散は分散の和に等しい。
+:<math>V[X+Y] = V[X] + V[Y]</math>（ただしX,Yは独立）
+独立でない場合に生じる「ズレ」を共分散と呼ぶ。
+:<math>V[X+Y] = V[X] + V[Y] + 2Cov[X,Y]</math>
+===共分散・相関===
+共分散は二組の対応する確率変数の間で、ばらつきが異なる度合いである。
 共分散の定義は
-:<math>Cov(X,Y)=E[(X-E[X])(Y-E[Y])]</math>
+:<math>Cov[X,Y]=E[ (X-E[X]) (Y-E[Y]) ]</math>
 となる。
-XとYに関して対称に定義されていて、XとYのばらつきの傾向が似ていれば大きな正の値になり、似ていなければ大きな負の値になる。
+XとYに関して対称に定義されていて、XとYのばらつきの傾向が似ていれば大きな正の値になり、似ていなければ大きな負の値になる。XとYが独立であれば0になる。
 共分散をXの標準偏差とYの標準偏差で割ったものが相関係数である。
-:<math>\textstyle Corr(X,Y)=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{V[X]}\sqrt{V[Y]}}</math>
+:<math>Corr[X,Y] = Cov[X,Y] /(V[X]^{1/2}V[Y]^{1/2})</math>
+==正規分布表==
+標準正規分布表の見方。
+{|
+|
+{| class="wikitable"
+| z || 0.0 || 0.2 || 0.4 || 0.6 || 0.8
+|-
+| 0.0 || 0.5000 || 0.4207 || 0.3446 || 0.2743 || 0.2119
+|-
+| 1.0 || 0.1587 || 0.1151 || 0.0808 ||0.0548 || 0.0359
+|-
+| 2.0 || 0.0228 || 0.0139 || 0.0082 || 0.0047 || 0.0026
+|-
+| 3.0 || 0.0013 || 0.0007 || 0.0003 || 0.0002 || 0.0001
+|}
+| [[Image:JSBi-std.gif]]
+|}
+表におけるzの値は上から順に左→右方向にみる。正規分布全体の面積を1.0としたときの、
+zから上側の面積を示している。例えば標準偏差が2.0以上の面積は0.0228、2.2以上の面積は0.0139。

Aritalab:Lecture/JSBi/Test/Math

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