Aritalab:Lecture/Basic/Generating Function

母関数

扱う対象とする無限列を、補助変数zを用いてべき級数(power series)として表現する方法を母関数という。

$G(z) = a_0 + a_1z + a_2z^2 + \cdots = \Sigma_{k=0}^{\infty}a_k z^k$

例えば二項定理は、$(1+z)^r$が数列$\textstyle \binom{r}{0}, \binom{r}{1}, \binom{r}{2}, \ldots$の母関数表現と解釈できる。

$(1+z)^r = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{r}{k} z^k$

この式を二つ掛け合わせると

$(1+z)^r (1+z)^s = (1+z)^{r+s} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{r+s}{k} z^k$

両者の$\Sigma$式において$z^n$の係数が等しいとおくことでヴァンデルモンドの畳み込み式(convolution)が得られる。

$\sum_{k=0}^{n} \binom{r}{k} \binom{s}{n-k} = \binom{r+s}{n}$

これを一般化すると以下のように書ける。

$\begin{align} F(z)G(z) &= (f_0 + f_1z + f_2z^2 + \cdots)(g_0 + g_1z + g_2z^2 + \cdots) \\ &= (f_0g_0) + (f_0g_1+ f_1g_0)z + (f_0g_2+f_1g_1+f_2g_0)z^2 + \cdots \\ &= \sum_n \Big( \sum_k f_k g_{n-k} \Big) z^n \end{align}$