Aritalab:Lecture/NetworkBiology/Percolation on Graph

グラフ上のパーコレーション

グラフをある次数分布に従うツリーとみなすことで、パーコレーションを扱ってみよう。 ここでは母関数という概念を利用する。

次数分布の母関数

グラフの次数分布$p(k)$を与えられたとき、その母関数は

$G_v(z) = \sum p(k) z^k$

しかし、頂点vの隣にある頂点wの次数分布はもはや$p(k)$ではない。 辺をランダムに1本選んだとき、もう片方にある端点がどんな次数分布をとるか考えよう。 選ばれた辺の先には、他の点が等確率でくることはない。次数の大きい点のほうが、次数に比例して存在する確率が高くなるだろう。 つまり、もう片側にある端点の次数分布は、最初の次数分布に辺の数で重みをつけてから正規化した$\textstyle kp(k)/\Sigma_j jp(j)$となる（分母は正規化定数）。 よってある頂点vの隣にある頂点wの次数分布の母関数は

$\sum_{k=0}^{\infty}x^k\frac{kp(k)}{\Sigma_jjp(j)} = x\frac{\Sigma_k kx^{(k-1)}p(k)}{\Sigma_jjp(j)} = x\frac{G'_v(x)}{G'_v(1)}$

母関数においては、次数$k$に対して$x^k$が対応する。 頂点vの先にwがついているとき、wからv以外に伸びる辺数に注目しよう。 その母関数は上の式を$x$で割ればよいから

$G_w(x) = \frac{G'_v(x)}{G'_v(1)}$

占有される頂点の母関数

パーコレーションで相転移が起きるのは、頂点から伸びていく辺の期待値が1をちょうど超えるときである。 ただし、このときの母関数はグラフ全体の次数分布を示す$G_v$ではなく、占有された頂点のみによる部分ネットワークの母関数である。 したがって、母関数を区別して$F_v$と記そう。FとGの関係は、各頂点が確率qで占有されるため

$\begin{align} F'_v(v) &= q G'_v(v) = q \langle k \rangle \\ F''_v(v) &= q^2G''_v(v) = q^2 (\langle k^2 \rangle - \langle k \rangle) \end{align}$

つまりGとFの次数平均と二乗平均をそれぞれ$\langle k \rangle$, $\langle l \rangle$と書くと

$\begin{align} \langle l \rangle &= q \langle k \rangle \\ \langle l^2 \rangle &= q^2 (\langle k^2 \rangle - \langle k \rangle) + q \langle k \rangle \end{align}$

相転移が起きるのは$F_w'(1) = 1$のときだから

$F'_w(1) = \frac{F''_v(1)}{F'_v(1)} = 1$

に代入して

$q_c = \frac{1}{\frac{\langle k^2 \rangle}{\langle k \rangle} - 1}$

パーコレーション

いかなる次数分布でも、$\langle k^2 \rangle$が$\langle k \rangle$に比して大きいと、低いパーコレーション確率で相転移が起こる。

ランダムグラフの場合

ランダムグラフの場合は次数分布がポアソン分布になる。このとき$\langle k^2 \rangle = \langle k \rangle^2 + \langle k \rangle$になるので

$q_c = 1 / \langle k \rangle$

すなわち、平均次数が大きくなるほどパーコレートしやすくなる。

スケールフリーネットワークの場合

べき分布$p(k)=ck^{-\gamma}$のとき

$\langle k^2 \rangle = \Sigma_kk^2p(k) = c\Sigma k^{2-\gamma}$

この値は のときに発散する。有限のネットワークではその値も有限だが、大きな値になるために 非常に低い値でパーコレートする。