Aritalab:Lecture/NetworkBiology/Watts-Strogatz Model

Revision as of 07:22, 29 June 2011

スモールワールド

ディズニーランドに It's a Small World というアトラクションがあります。友達という概念をネットワークで表現すると、世間の狭さは平均頂点間距離 L が小さいことに相当します。現実のネットワークは平均頂点間距離 L およびクラスター係数 C が大きい ( L = O(log N), C = 0.2 ∼ 0.3 ) ことが特徴です。

ランダムグラフ (Erdos-Renyi Model) は L が小さいものの、C が大きくなりません。逆に格子グラフは L も C も大きくなります。これら二つのグラフの特徴を併せ持つモデルを Watts と Strogatz が提唱して一大ブームになりました。

歴史と参考図書

Watts DJ, Strogatz SH. "Collective dynamics of 'small-world' networks.". Nature 393 (6684):409–10, 1998. doi:10.1038/30918
Durrett R. "Random Graph Dynamics" Cambridge University Press, 2004.

Watts-Strogatz Model

各頂点が $k$ 個の隣接点に接続した環状の格子グラフにおいて（総辺数は $kn/2$ ）、確率 $p$ で辺を張り直したものをWatts-Strogatzモデルといいます。パラメータ $p$ を調節して格子とランダムグラフの中間状態を作成するところがポイントです。

$p=0 \,$ のとき

ネットワークは環状の格子グラフです。頂点の次数は全て k です。以下に記すようにクラスター係数が大きい代わりに、平均頂点間距離は O( n ) になります。

クラスター係数

簡単のため左右の隣接点に同じ本数リンクを張ると仮定し、 $k = 2i$ とします。注目する点を原点とした $-i \leq x, y \leq i\$ のxy座標系を考えます。辺を張るときの端点をそれぞれ x, y と考えると、座標系の中で 2 i + 1 個の頂点間をむすぶ組み合わせは $y > x$ の領域に属する $(2i + 1) i$ 個と考えられます。このうち $y \leq x + i$ に属する部分にはリンクが張られます。その割合（面積）を考えると $C(0) = 3/4$ です。

平均頂点間距離

1ステップで $k/2$ 点スキップでき、環状格子で一番離れている点は $n/2$ なので、 $L(0) \leq n / k$ となります。

$p=1\,$ のとき

全ての辺をランダムに張り替えるので、ランダムグラフになります。 $kn/2$ 本の辺がポアソン過程で張られた場合を考えましょう。頂点の平均次数は $\langle k \rangle$ です。また全ての辺はランダムに張られるので、隣り合う頂点の間で次数の相関はありません。

$P(k) = \frac{\langle k \rangle^k}{k!}e^{-\langle k \rangle}$

クラスター係数

いかなる2頂点であろうと、その間に辺が存在する確率は $k/n$ なので、 $C(1) \simeq k/n$ です。

平均頂点間距離

ある頂点に隣接する頂点数の期待値は $\langle k \rangle$ 個です。隣接点にさらに隣接する頂点数の期待値を求めましょう。

$\sum_j j P(j|k) -1 = \sum_j j P(j) -1 = \sum_j j \frac{j p(j)}{\langle k \rangle} -1 = \frac{\langle k^2 \rangle - \langle k \rangle}{\langle k \rangle}$

1 を引いているのは、辿ってきた辺を除外するからです。また $P(j|k) = P(j)$ とした部分に次数相関が 0 であることを使っています。この値はポアソン分布なら $\langle k^2 \rangle = \langle k \rangle^2 + \langle k \rangle$ であることから $\langle k \rangle$ になります。つまり、何個頂点をたどっても、その先に隣接する頂点の期待値は $\langle k \rangle$ です。

ここで、平均頂点間距離を l とおき、ある頂点から l ステップで到達しうる点の数を数えます。ネットワークのサイクルを考慮しないで（大雑把に）l ステップで全点 n に到達するとしましょう。

$1 + \sum^l_{i=1} k^i = \frac{k^{l-1} - 1}{k-1} = n$

この関係から、大まかに $l \simeq \frac{\log n}{\log k} + \frac{\log (k-1)}{\log k} \simeq \frac{\log n}{\log k}$ となります。

一般の場合

辺を張りなおすモデルだと理論的解析が難しいので、環状の格子グラフにポアソン過程に従って $pkn/2$ 本の辺を追加するモデルもよく使われます。

平均頂点間距離

導出は面倒ですが以下の近似が知られています。

$L(p) = \frac{n}{k}\frac{\log(2 pkn)}{4 pkn}$

クラスター係数

簡単な近似では、格子グラフにおいて隣接する頂点どうしが接続した三角形が $K_3$ が辺の張り直しによって壊れなければよいと考えます。辺が張り替えられる確率はそれぞれ p ですから 3 つとも張り替えられない確率は

$C(p) = C(0)(1-p)^3\$

となります。

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 ==Watts-Strogatz Model==
-各頂点が <math>k</math> 個の隣接点に接続した環状の格子グラフにおいて（総辺数は<math>kn/2</math>）、確率 <math>p</math> で辺を張り直したものをWatts-Strogatzモデルといいます。辺を張りなおすモデルだと理論的解析が難しいので、環状の格子グラフにポアソン過程に従って <math>pkn/2</math> 本の辺を追加するモデルがよく使われます。パラメータ <math>p</math> を調節して格子とランダムグラフの中間状態を作成する点がポイントです。
+各頂点が <math>k</math> 個の隣接点に接続した環状の格子グラフにおいて（総辺数は<math>kn/2</math>）、確率 <math>p</math> で辺を張り直したものをWatts-Strogatzモデルといいます。パラメータ <math>p</math> を調節して格子とランダムグラフの中間状態を作成するところがポイントです。
 === <math>p=0 \,</math> のとき===
-ネットワークは環状の格子グラフです。
+ネットワークは環状の格子グラフです。頂点の次数は全て ''k'' です。以下に記すようにクラスター係数が大きい代わりに、平均頂点間距離は O( ''n'' ) になります。
 ;クラスター係数
-簡単のため左右の隣接点に同じ本数リンクを張ると仮定し、 <math>k = 2i</math> とします。注目する点を原点とした <math>-i \leq x, y < \leq i\ </math> のxy座標系を考えたとき、<math>|x - y| > i</math> に対応する座標点は三角形<math>K_3</math>を形成せず、残りは形成します。その割合を考えると <math>C(0) = 3/4</math> です。
+簡単のため左右の隣接点に同じ本数リンクを張ると仮定し、 <math>k = 2i</math> とします。注目する点を原点とした <math>-i \leq x, y \leq i\ </math> のxy座標系を考えます。辺を張るときの端点をそれぞれ x, y と考えると、座標系の中で 2 ''i'' + 1 個の頂点間をむすぶ組み合わせは <math> y > x </math> の領域に属する <math> (2i + 1) i </math> 個と考えられます。このうち <math> y \leq x + i</math> に属する部分にはリンクが張られます。その割合（面積）を考えると <math>C(0) = 3/4</math> です。
 ;平均頂点間距離
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 ===<math>p=1\,</math>のとき===
-ネットワークはランダムグラフです。
+全ての辺をランダムに張り替えるので、ランダムグラフになります。<math>kn/2</math> 本の辺がポアソン過程で張られた場合を考えましょう。頂点の平均次数は <math>\langle k \rangle</math> です。また全ての辺はランダムに張られるので、隣り合う頂点の間で次数の相関はありません。
+<math>P(k) = \frac{\langle k \rangle^k}{k!}e^{-\langle k \rangle}</math>
 ;クラスター係数
-<math>k</math>辺を張りかえるとき、<math>n</math>頂点の中から<math>k</math>隣接点を選べばよいので<math>C(1) \simeq k/n</math>。
+いかなる2頂点であろうと、その間に辺が存在する確率は <math>k/n</math> なので、<math>C(1) \simeq k/n</math> です。
 ;平均頂点間距離
-辺をランダムに張りかえるので<math>L(1) \simeq \log n / \log k</math>。
+ある頂点に隣接する頂点数の期待値は <math>\langle k \rangle</math> 個です。隣接点にさらに隣接する頂点数の期待値を求めましょう。
+<math>\sum_j j P(j|k) -1 = \sum_j j P(j) -1 = \sum_j j \frac{j p(j)}{\langle k \rangle} -1 = \frac{\langle k^2 \rangle - \langle k \rangle}{\langle k \rangle} </math>
+を引いているのは、辿ってきた辺を除外するからです。また <math>P(j|k) = P(j)</math> とした部分に次数相関が 0 であることを使っています。この値はポアソン分布なら <math> \langle k^2 \rangle = \langle k \rangle^2 + \langle k \rangle </math> であることから <math>\langle k \rangle</math> になります。つまり、何個頂点をたどっても、その先に隣接する頂点の期待値は <math>\langle k \rangle</math> です。
+ここで、平均頂点間距離を ''l'' とおき、ある頂点から ''l'' ステップで到達しうる点の数を数えます。ネットワークのサイクルを考慮しないで（大雑把に）''l'' ステップで全点 ''n'' に到達するとしましょう。
+<math> 1 + \sum^l_{i=1} k^i = \frac{k^{l-1} - 1}{k-1} = n </math>
+この関係から、大まかに <math> l \simeq \frac{\log n}{\log k} + \frac{\log (k-1)}{\log k} \simeq \frac{\log n}{\log k}</math> となります。
 ===一般の場合===
+辺を張りなおすモデルだと理論的解析が難しいので、環状の格子グラフにポアソン過程に従って <math>pkn/2</math> 本の辺を追加するモデルもよく使われます。
 ;平均頂点間距離
-導出は面倒だが以下の近似が知られている。<math>\textstyle L(p)=\frac{n}{k}\frac{\log(2 pkn)}{4 pkn}</math>
+導出は面倒ですが以下の近似が知られています。
+<math>L(p) = \frac{n}{k}\frac{\log(2 pkn)}{4 pkn}</math>
 ;クラスター係数
-簡単な近似では、<math>K_3</math>をなす3頂点間の辺が張りなおしを防げばよいので
+簡単な近似では、格子グラフにおいて隣接する頂点どうしが接続した三角形が <math>K_3</math> が辺の張り直しによって
-<math>C(p) = C(0)(1-p)^3</math>。
+壊れなければよいと考えます。辺が張り替えられる確率はそれぞれ ''p'' ですから 3 つとも張り替えられない確率は
+<math>C(p) = C(0)(1-p)^3\ </math>
+となります。

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Watts-Strogatz Model

$p=0 \,$ のとき

$p=1\,$ のとき

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