Aritalab:Lecture/NetworkBiology/Watts-Strogatz Model

スモールワールド

ディズニーランドに It's a Small World というアトラクションがあります。友達という概念をネットワークで表現すると、世間の狭さは平均頂点間距離 L が小さいことに相当します。現実のネットワークは平均頂点間距離 L およびクラスター係数 C が大きい ( L = O(log N), C = 0.2 ∼ 0.3 ) ことが特徴です。

ランダムグラフ (Erdos-Renyi Model) は L が小さいものの、C が大きくなりません。 逆に格子グラフは L も C も大きくなります。これら二つのグラフの特徴を併せ持つモデルを Watts と Strogatz が提唱して一大ブームになりました。

歴史と参考図書

• Watts DJ, Strogatz SH. "Collective dynamics of 'small-world' networks.". Nature 393 (6684):409–10, 1998. doi:10.1038/30918
• Durrett R. "Random Graph Dynamics" Cambridge University Press, 2004.

Watts-Strogatz Model

各頂点が $k$ 個の隣接点に接続した環状の格子グラフにおいて（総辺数は$kn/2$）、確率 $p$ で辺を張り直したものをWatts-Strogatzモデルといいます。パラメータ $p$ を調節して格子とランダムグラフの中間状態を作成するところがポイントです。

p = 0 のとき

ネットワークは環状の格子グラフです。頂点の次数は全て k です。以下に記すようにクラスター係数が大きい代わりに、平均頂点間距離は O( n ) になります。

クラスター係数

簡単のため左右の隣接点に同じ本数リンクを張ると仮定し、 $k = 2i$ とします。注目する点を原点とした $-i \leq x, y \leq i\$ のxy座標系を考えます。辺を張るときの端点をそれぞれ x, y と考えると、座標系の中で 2 i + 1 個の頂点間をむすぶ組み合わせは $y > x$ の領域に属する $(2i + 1) i$ 個と考えられます。このうち $y \leq x + i$ に属する部分にはリンクが張られます。その割合（面積）を考えると $\ C(0) \simeq 3/4$ です。

平均頂点間距離

1ステップで $k/2$ 点スキップでき、環状格子で一番離れている点は $n/2$ なので、$L(0) \leq n / k$ となります。

p = 1 のとき

全ての辺をランダムに張り替えるので、ランダムグラフになります。$kn/2$ 本の辺をポアソン過程で張る場合を考えましょう。頂点の平均次数は $\langle k \rangle$ です。発生回数の期待値がλのポアソン分布は$P(X=k)=\frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda}$で表されることに注意します。

$P(k) = \frac{\langle k \rangle^k}{k!}e^{-\langle k \rangle}$

全ての辺はランダムに張られるので、隣り合う頂点の間で次数の相関はありません。

クラスター係数

いかなる2頂点であろうと、その間に辺が存在する確率は $k/n$ なので、$C(1) \simeq k/n$ です。

平均頂点間距離

平均頂点間距離を l とおき、ある頂点から l ステップで到達しうる点の数を数えます。ネットワークのサイクルを考慮しないで（大雑把に）l ステップで全点 n に到達するとしましょう。

$1 + \sum^l_{i=1} k^i = \frac{k^{l-1} - 1}{k-1} = n$

この関係から、大まかに $L(1) = l \simeq \frac{\log n}{\log k} + \frac{\log (k-1)}{\log k} \simeq \frac{\log n}{\log k}$ となります。

一般の場合

辺を張りなおすモデルだと理論的解析が難しいので、環状の格子グラフにポアソン過程に従って $pkn/2$ 本の辺を追加するモデルもよく使われます。

平均頂点間距離

導出は面倒ですが以下の近似が知られています。

$L(p) = \frac{n}{k}\frac{\log(2 pkn)}{4 pkn}$

クラスター係数

簡単な近似では、格子グラフにおいて隣接する頂点どうしが接続した三角形が $K_3$ が辺の張り直しによって 壊れなければよいと考えます。辺が張り替えられる確率はそれぞれ p ですから 3 つとも張り替えられない確率は

$C(p) \simeq C(0)(1-p)^3 \simeq \frac{3}{4}(1-p)^3$

となります。